Xét tính khả vi của hàm số

1 Góc học tập ➢ 2 Giải tích I (HUST)

Xét tính khả vi của hàm số ✪ Định nghĩa:
Hàm số $f(x)$ khả vi tại $x_0$ khi nó liên tục $x_0$
●Điều kiện đủ:
Hàm số $f(x)$ khả vi tại $x_0$ khi $${f'_ - }({x_0}) = {f'_ + }({x_0})$$ Hay $$\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}$$ ✪Các bước làm bài :
  ●Bước 1 :Nêu tập xác định (TXĐ).
  ●Bước 2 :Tính đạo hàm trái và phải
    _Nếu đề yêu cầu tại điểm gì thì xét tính khả vi tại điểm
    _Nếu đề không yêu cầu tại 1 điểm cụ thể thì xét tính khả vi trên toàn bộ tập xác định
(Sử dụng điều kiện cần khi cần thiết)
  ●Bước 3 :Kết luận

✪Ví dụ 1 :
Cho hàm số : $$f(x) = \left\{ {\matrix{ {x\arctan \frac{1}{{{x^2}}}}&,&{x \ne 0}\\ 0&,&{x = 0} }} \right.$$ Tính $f'(x)$ (Bài 1-ý a-Đề 1-Giải tích I BKHN-K58)
● TXĐ: $D = R $
(Đề không nói cụ thể điểm nào nên ta xét tính khả vi trên toàn bộ tập xác định. Có 2 trường hợp là $x=0$ và $x \ne 0$)
●Tại $x \ne 0$ : $$f{'_ - }(x) = f{'_ + }(x) = (x.\arctan \frac{1}{{{x^2}}})' = \frac{{ - 2{x^2}}}{{{x^4} + 1}} + \arctan \frac{1}{{{x^2}}}$$ ●Tại $x = 0$ : $$f{'_ - }(0) = f{'_ + }(0) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x) - f(0)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (\arctan \frac{1}{{{x^2}}}) = \frac{\pi }{2}$$ ● Vậy: $$f'(x) = \left\{ {\matrix{ {\frac{{ - 2{x^2}}}{{{x^4} + 1}} + \arctan \frac{1}{{{x^2}}}}&,&{x \ne 0}\\ {\frac{\pi }{2}}&,&{x = 0} }} \right.$$

✪Ví dụ 2 :
Tìm $a,b$ hàm số sau : $f(x) = \left\{ {\matrix{ {x(x - 1) + 1}&,&{x \ge 0}\\ {ax + b}&,&{x < 0} }} \right.$
có đạo hàm tại $x=0$
(Bài 1-ý b-Đề 3-Giải tích I giữa kì BKHN-K58)
  ● TXĐ: $D = R $
(Đề nói cụ thể tại điểm $x=0$ nên ta xét tính khả vi tại $x=0$)
  ●Ta có: $$\left\{ {\matrix{ {f{'_ + }(0) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f(x) - f(0)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{x(x - 1) + 1 - 1}}{x} = - 1}\\ f{'_ - }(0) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{f(x) - f(0)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{ax + b - 1}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} (a + \frac{{b - 1}}{x}) }} \right.$$    Suy ra $f(x) $ khả vi tại $x=0$ khi và chỉ khi: $$\left\{ {\matrix{ {\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = f(0)}\\ f{'_\_}(0)=f{'_ +}(0) }} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {b=1}\\ a=-1 }} \right. $$
  ●Vậy $a=-1,b=1$ là các giá trị cần tìm

✪Ví dụ 3 :
Cho hàm : $$f(x) = \left\{ {\matrix{ {\frac{{\ln (1 + x) - ax - b{x^2}}}{{{x^2}}}}&{,voi}&{x \in {\rm{[}} - 1; + \infty )\backslash {\rm{\{ }}0\} }\\ 0&{,voi}&{x = 0} }} \right.$$
Tìm a,b để $f(x)$ có đạo hàm tại x=0
  ● TXĐ: $D = {\rm{[ - 1}}; + \infty )$
(Đề nói cụ thể tại điểm $x=0$ nên ta xét tính khả vi tại $x=0$)
  ●Ta có: $$f{'_\_}(0) = f{'_ + }(0) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x) - f(0)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\ln (1 + x) - ax - b{x^2}}}{{{x^3}}}$$   _Khi ${x \to 0}$ ta có: $$\ln (1 + x) \sim x - \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{{x^3}}}{3} + o({x^3})$$   _Suy ra $$f'(0) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{(1 - a)x - (\frac{1}{2} + b){x^2} + \frac{{{x^3}}}{3} + o({x^3})}}{{{x^3}}}$$
  +Với $a \ne 1$ hoặc $b \ne {\frac{-1}{2}}$ $$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{(1 - a)x - (\frac{1}{2} + b){x^2} + \frac{{{x^3}}}{3} + o({x^3})}}{{{x^3}}} = \infty $$     Suy ra $f'(0)$ không tồn tại.
  +Với $a = 1$ và $b = {\frac{-1}{2}}$ $$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{(1 - a)x - (\frac{1}{2} + b){x^2} + \frac{{{x^3}}}{3} + o({x^3})}}{{{x^3}}} = \frac{1}{3}$$     Suy ra $f'(0) = \frac{1}{3}$
  ●Vậy $a=1,b=\frac{-1}{2}$ là các giá trị cần tìm

✪Ví dụ 4 :
Cho hàm : $$f(x) = |x + 1|{(x + a)^3}$$ Tìm a để $f(x)$ khả vi tại $x=-1$
● TXĐ: $D = R$
(Đề nói cụ thể tại điểm $x=-1$ nên ta xét tính khả vi tại $x=-1$)
●Ta có: $$\matrix{ \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \frac{{f(x) - f( - 1)}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \frac{{ - (x + 1){{(x + a)}^3}}}{{x + 1}} = - {(a - 1)^3}\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{f(x) - f( - 1)}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \frac{{(x + 1){{(x + a)}^3}}}{{x + 1}} = {(a - 1)^3} }$$ Suy ra $f(x)$ khả vi tại $x=-1$ khi và chỉ khi: $$- {(a - 1)^3} = {(a - 1)^3} \Leftrightarrow a = 1$$ ●Vậy $a=1$ là giá trị cần tìm.

✪Ví dụ 5 :
Xét tính khả vi của hàm số : $$f(x) = |cosx|$$
  ● TXĐ: $D = R$
(Đề không nói cụ thể tại điểm nào cả, nên ta xét tính khả vi trên toàn bộ tập xác định, cụ thể là tại các điểm nghiệm $cosx=0$ và $cosx≠0$)
  ●Tại $x=x_0≠{\frac{\pi }{2} + k\pi }$: $$f{'_\_}(x_0) = f{'_ + }(x_0) =|\cos {x_0}{\rm{|'}}= \left[ {\matrix{ {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}{{\rm{x}}_0},}&{voi}&{{\rm{cosx < 0}}}\\ { - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}{{\rm{x}}_0},}&{voi}&{{\rm{cosx > 0}}} }} \right.$$   ●Tại $x={\frac{\pi }{2} + 2k\pi }$: $$\matrix{ \mathop {\lim }\limits_{x \to {{(\frac{\pi }{2} + 2k\pi )}^ - }} \frac{{f(x) - f(\frac{\pi }{2} + 2k\pi )}}{{x - (\frac{\pi }{2} + 2k\pi )}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{(\frac{\pi }{2} + 2k\pi )}^ - }} \frac{{\cos x}}{{x - (\frac{\pi }{2} + 2k\pi )}}\mathop = \limits^L \mathop {\lim }\limits_{x \to {{(\frac{\pi }{2} + 2k\pi )}^ - }} \frac{{ - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}}{1} = - 1\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {{(\frac{\pi }{2} + 2k\pi )}^ + }} \frac{{f(x) - f(\frac{\pi }{2} + 2k\pi )}}{{x - (\frac{\pi }{2} + 2k\pi )}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{(\frac{\pi }{2} + 2k\pi )}^ + }} \frac{{ - \cos x}}{{x - (\frac{\pi }{2} + 2k\pi )}}\mathop = \limits^L \mathop {\lim }\limits_{x \to {{(\frac{\pi }{2} + 2k\pi )}^ + }} \frac{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}}{1} = 1 }$$     Suy ra $f(x)$ không khả vi tại $x={\frac{\pi }{2} + 2k\pi }$
  ●Tại $x={\frac{-\pi }{2} + 2k\pi }$: $$\matrix{ \mathop {\lim }\limits_{x \to {{(\frac{{ - \pi }}{2} + 2k\pi )}^ - }} \frac{{f(x) - f(\frac{{ - \pi }}{2} + k\pi )}}{{x - (\frac{{ - \pi }}{2} + 2k\pi )}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{(\frac{{ - \pi }}{2} + 2k\pi )}^ - }} \frac{{ - \cos x}}{{x - (\frac{{ - \pi }}{2} + 2k\pi )}}\mathop = \limits^L \mathop {\lim }\limits_{x \to {{(\frac{{ - \pi }}{2} + 2k\pi )}^ - }} \frac{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}}{1} = 1\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {{(\frac{{ - \pi }}{2} + 2k\pi )}^ + }} \frac{{f(x) - f(\frac{{ - \pi }}{2} + k\pi )}}{{x - (\frac{{ - \pi }}{2} + 2k\pi )}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{(\frac{{ - \pi }}{2} + 2k\pi )}^ + }} \frac{{\cos x}}{{x - (\frac{{ - \pi }}{2} + 2k\pi )}}\mathop = \limits^L \mathop {\lim }\limits_{x \to {{(\frac{{ - \pi }}{2} + 2k\pi )}^ + }} \frac{{ - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}}{1} = - 1 }$$     Suy ra $f(x)$ không khả vi tại $x={\frac{-\pi }{2} + 2k\pi }$