Tìm cực trị hàm 2 biến

1 Góc học tập ➢ 2 Giải tích I (HUST)

Tìm cực trị hàm 2 biến ✪ Định nghĩa :
${M_0}({x_0};{y_0})$ là điểm cực trị của hàm $z=f(x;y)$ Nếu với mọi điểm $M({x_0} + \Delta x;{y_0} + \Delta y)$ là lân cận của ${M_0}({x_0};{y_0})$ thì ta luôn có :
$\Delta f = f({x_0};{y_0}) - M({x_0} + \Delta x;{y_0} + \Delta y)$ không đổi dấu, Với : $$\left[ \matrix{ \Delta f \ge 0 \Rightarrow \matrix{ {{M_0}}&{là}&{điểm}&{cực}&{đại} }\\ \Delta f \le 0 \Rightarrow \matrix{ {{M_0}}&{là}&{điểm}&{cực}&{tiểu} } } \right.$$ (M là lân cận của ${M_0}$ khi $\Delta x$,$\Delta y$ khá nhỏ).
✪ Quy tắc tìm cực trị:
Giả sử hàm số $z=f(x;y)$ có các đạo hàm riêng đến cấp 2 liên tục trong lân cận của điểm dừng $M_0(x_0;y_0)$
Đặt $\matrix{ {A = z''_{xx}}&;&{B = z''_{xy}}&;&{C = z''_{yy}} }$
Khi đó: $$\left[ \matrix{ \left\{ \matrix{ {B^2} - AC < 0\\ \matrix{ {A > 0}&{({\rm{or}}}&{C > 0)} } } \right. \Rightarrow \matrix{ {{M_0}}&{là}&{điểm}&{cực}&{tiểu} }\\ \left\{ \matrix{ {B^2} - AC < 0\\ \matrix{ {A < 0}&{({\rm{or}}}&{C < 0)} } } \right. \Rightarrow \matrix{ {{M_0}}&{là}&{điểm}&{cực}&{đại} }\\ {B^2} - AC > 0 \Rightarrow \matrix{ {Hàm}&{không}&{đạt}&{cực}&{trị}&{tại}&{{M_0}} }\\ {B^2} - AC = 0 \Rightarrow \matrix{ {Dùng}&{định}&{nghĩa}&{để}&{xác}&{định} } } \right.$$ ✪ Các bước làm bài :
●Bước 1 :Giải hệ phương trình
$$\left\{ \matrix{ z{'_x} = 0\\ z{'_y} = 0 } \right. \Rightarrow \matrix{ {Tìm}&{được}&{nghiệm}&{({x_1};{y_1})}&{({x_2};{y_2})}&{...}&{({x_n};{y_n})} }$$ ●Bước 2 :Tìm các đạo hàm cấp 2. $$\left\{ \matrix{ A = z'{'_{xx}}\\ B = z'{'_{xy}}\\ C = z'{'_{yy}} } \right.$$ ●Bước 3 :Xét các điểm nghiệm $({x_1};{y_1})$, $({x_2};{y_2})$,...,$({x_n};{y_n})$ để tính A, B, C và xem nó thuộc trường hợp nào để tính và kết luận

✪Ví dụ 1 :
Tìm cực trị hàm số $z = 2{x^4} + {y^4} - 4{x^2} + 2{y^2}$
(Bài 7-Đề 1-Giải tích I cuối kì BKHN-K59)
● Ta có : $$\left\{ \matrix{ z{'_x} = 8{x^3} - 8x = 0\\ z{'_y} = 4{y^3} + 4y = 0 } \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ \left\{ \matrix{ x = - 1\\ y = 0 } \right.\\ \left\{ \matrix{ x = 0\\ y = 0 } \right.\\ \left\{ \matrix{ x = 1\\ y = 0 } \right. } \right.$$ Suy ra có 3 điểm nghi ngờ ${M_1}( - 1;0),{M_2}(0;0),{M_3}(1;0)$
$$\matrix{ A = z'{'_{xx}} = 24{x^2} - 8\\ B = z'{'_{xy}} = 0\\ C = z'{'_{yy}} = 12{y^2} + 4 }$$
● Xét các điểm nghi ngờ
_Tại ${M_1}( - 1;0)$ : $$\matrix{ \matrix{ {A = 16,}&{B = 0,}&{C = 4} }\\ \Rightarrow \left\{ \matrix{ {B^2} - AC = - 64 < 0\\ A > 0 } \right. }$$ Suy ra hàm đạt cực tiểu tại ${{M_1}( - 1;0) \Rightarrow {z_{CT}} = z( - 1;0) = - 2}$
_Tại ${M_2}(0;0)$ : $$\matrix{ \matrix{ {A = - 8,}&{B = 0,}&{C = 4} }\\ \Rightarrow {B^2} - AC = 32 > 0 }$$ Suy ra hàm không đạt cực trị tại ${M_2}(0;0)$
_Tại ${M_3}(1;0)$ : $$\matrix{ \matrix{ {A = 16,}&{B = 0,}&{C = 4} }\\ \Rightarrow \left\{ \matrix{ {B^2} - AC = - 64 < 0\\ A > 0 } \right. }$$ Suy ra hàm đạt cực tiểu tại ${{M_3}(1;0) \Rightarrow {z_{CT}} = z(1;0) = - 2}$

✪Ví dụ 2 :
Tìm cực trị hàm số $$z = 2{x^2} + 3{y^2} - {e^{ - ({x^2} + {y^2})}}$$ (Bài 7-Đề 3-Giải tích I cuối kì BKHN-K59)
● Ta có : $$\left\{ \matrix{ z{'_x} = 4x + 2x{e^{ - ({x^2} + {y^2})}} = 0\\ z{'_y} = 6y + 2y{e^{ - ({x^2} + {y^2})}} = 0 } \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = 0\\ y = 0 } \right.$$ Suy ra có 1 điểm nghi ngờ ${M_1}(0;0)$
$$\left\{ \matrix{ A = z''_{xx} = 4 + 2{e^{ - ({x^2} + {y^2})}} - 4{x^2}{e^{ - ({x^2} + {y^2})}}\\ B = z''_{xy} = - 4xy{e^{ - ({x^2} + {y^2})}}\\ C = z''_{yy} = 6 + 2{e^{ - ({x^2} + {y^2})}} - 4{y^2}{e^{ - ({x^2} + {y^2})}} } \right.$$
● Xét các điểm nghi ngờ
_Tại ${M_1}(0;0)$ : $$\matrix{ \matrix{ {A = 6,}&{B = 0,}&{C = 8} }\\ \Rightarrow \left\{ \matrix{ {B^2} - AC = - 48 < 0\\ A > 0 } \right. }$$ Suy ra hàm đạt cực tiểu tại ${{M_1}(0;0) \Rightarrow {z_{CT}} = z(0;0) = - 1}$

✪Ví dụ 3 :
Tìm cực trị hàm số $$z = {x^3} - \frac{3}{2}{y^4} - 3x{y^2}$$ (Bài 10-Đề 6-Giải tích I cuối kì BKHN-K60)
● Ta có : $$\left\{ \matrix{ z{'_x} = 3{x^2} - 3{y^2} = 0\\ z{'_y} = -6{y^3} - 6xy = 0 } \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ \left\{ \matrix{ x = 0\\ y = 0 } \right.\\ \left\{ \matrix{ x = -1\\ y = 1 } \right.\\ \left\{ \matrix{ x = -1\\ y = - 1 } \right. } \right.$$ Suy ra có 3 điểm nghi ngờ ${M_1}(0;0)$, ${M_2}(-1;1)$, ${M_3}(-1;-1)$
$$\left\{ \matrix{ A = z''_{xx} = 6x\\ B = z''_{xy} = -6y\\ C = z''_{yy} = -18{y^2} - 6x } \right.$$
● Xét các điểm nghi ngờ
_Tại ${M_1}(0;0)$ : $$\matrix{ \matrix{ {A = 0,}&{B = 0,}&{C = 0} }\\ \Rightarrow {B^2} - AC = 0 }$$ Suy ra ta phải dùng định nghĩa
Giả sử $N(0 + \Delta x;0 + \Delta y)$ là lân cân của ${M_1}(0;0)$ Khi đó : $$\matrix{ \Delta z = z(0;0) - z(0 + \Delta x;0 + \Delta y) = z(0;0) - z(\Delta x;\Delta y)\\ \Leftrightarrow \Delta z = - {(\Delta x)^3} + \frac{3}{2}{(\Delta y)^4} + 3(\Delta x).{(\Delta y)^2}\\ \left\{ \matrix{ \Delta x > 0,\Delta y = 0\matrix{ :&{\Delta z < 0} }\\ \Delta x < 0,\Delta y = 0\matrix{ :&{\Delta z > 0} } } \right. }$$ $ \Rightarrow \Delta z$ đã đổi dấu trong lân cận ${M_1}(0;0)$
Suy ra hàm không đạt cực trị tại ${M_1}(0;0).$
_Tại ${M_2}(-1;1)$ : $$\matrix{ \matrix{ {A = -6,}&{B = -6,}&{C = -12} }\\ \Rightarrow \left\{ \matrix{ {B^2} - AC = -36< 0\\ A<0 } \right. }$$ Suy ra hàm đạt cực đại tại ${M_2}(-1;1) \Rightarrow {z_{CT}} = z(-1;1) = \frac{1}{2}$
_Tại ${M_3}(-1;-1)$ : $$\matrix{ \matrix{ {A = -6,}&{B = 6,}&{C = -12} }\\ \Rightarrow \left\{ \matrix{ {B^2} - AC = -36 < 0\\ A<0 } \right. }$$ Suy ra hàm đạt cực đại tại ${M_3}(-1;-1) \Rightarrow {z_{CT}} = z(-1;-1) = \frac{1}{2}$