Giới hạn hàm số

1 Góc học tập ➢ 2 Giải tích I (HUST)

Giới hạn hàm số ✪ Định nghĩa 1:
_Khi $x$ tiến gần tới $a$, đồng thời $f(x)$ có giá trị gần tới $A$ ta có: $$\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) = A$$ _Giới hạn trái:
Khi $x$ tiến gần tới $a$ và $x < a$, đồng thời $f(x)$ có giá trị gần tới $A$ ta có: $$\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^-}} f(x) = A$$ _Giới hạn phải:
Khi $x$ tiến gần tới $a$ và $x > a$, đồng thời $f(x)$ có giá trị gần tới $A$ ta có: $$\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^+}} f(x) = A$$ ●Ví dụ:$$\matrix{ \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} ({x^2} + 2) = 6\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} {2^{\frac{1}{x}}} = 0\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {2^{\frac{1}{x}}} = + \infty }$$ ✪ Định nghĩa 2:(Cái định nghĩa này ai mà không quen thì không cần phải cố hiểu làm gì :v. Định nghĩa này chỉ thường được dùng để chứng minh một giới hạn chứ không phải tìm giới hạn)
_Hàm $f(x)$ xác định trong lân cận $x=a$. Khi đó, số thực $L$ được gọi là giới hạn của $f(x)$ khi $x \to a$ nếu : $$\matrix{ \forall \varepsilon > 0,\matrix{ {\exists {\delta _\varepsilon } > 0}&{thỏa}&{mãn}&{|x - a| < {\delta _\varepsilon }} }\\ \Rightarrow |f(x) - L| < \varepsilon }$$ _Giới hạn trái:$$\matrix{ \forall \varepsilon > 0,\matrix{ {\exists {\delta _\varepsilon } > 0}&{thỏa}&{mãn}&{a - {\delta _\varepsilon } < x < {\delta _\varepsilon }} }\\ \Rightarrow |f(x) - L| < \varepsilon }$$ _Giới hạn phải:$$\matrix{ \forall \varepsilon > 0,\matrix{ {\exists {\delta _\varepsilon } > 0}&{thỏa}&{mãn}&{{\delta _\varepsilon } < x < a + {\delta _\varepsilon }} }\\ \Rightarrow |f(x) - L| < \varepsilon }$$ ●Ví dụ:Chứng minh $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x.c{\rm{os}}\frac{1}{x} = 0$
_Hàm số $f(x)=x.c{\rm{os}}\frac{1}{x}$ không xác định tại $x=0$ nhưng xác định tại lân cận $x=0$
_Với mọi $\varepsilon>0$ nhỏ tùy ý, ta có : $$|f(x) - 0| = |x.\cos \frac{1}{x}| < \varepsilon $$ Ta cần chứng minh $\forall \varepsilon > 0,\matrix{ {\exists {\delta _\varepsilon } > 0}&{thỏa}&{mãn}&{|x - a| < {\delta _\varepsilon }} } \Leftrightarrow |x| < {\delta _\varepsilon }$
_Ta có: $|x.\cos \frac{1}{x}| = |x|.|\cos \frac{1}{x}| \le |x|$
_Ta chọn ${\delta _\varepsilon } = \varepsilon $
Khi đó $$\forall \varepsilon > 0,\matrix{ {\exists {\delta _\varepsilon } = \varepsilon }&{thỏa}&{mãn}&{|x| < {\delta _\varepsilon }} } \Rightarrow |x.\cos \frac{1}{x}| < \varepsilon $$ _Vậy theo định nghĩa $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x.c{\rm{os}}\frac{1}{x} = 0(đpcm)$
✪ Chú ý:
●$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ \mathop {\lim }\limits_{x \to x_{_0}^ - } f(x) = L\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to x_{_0}^ + } f(x) = L } \right.$
●$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x)$ nghĩa là $x$ tiến tới rất gần $x_0$ chứ không phải $x=0$
_Ví dụ: $$\matrix{ f(x) = \left\{ \matrix{ 1,x \ne 0\\ 0,x = 0 } \right.\matrix{ {khi}&{đó}&{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = 1} }\\ f(x) = \frac{1}{x}\matrix{ {.khi}&{đó}&{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = \infty } } }$$ ✪ Tính chất:
Giả sử $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0} f(x) = A,\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0} g(x) = B$ với $A,B$ hữu hạn. Khi đó:
● $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0} c.f(x) = c\mathop {.\lim }\limits_{x \to x_0} f(x) = c.A$
● $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0} {\rm{[}}f(x) \pm g(x){\rm{]}}=\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0} f(x) \pm \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0} g(x) = A \pm B$
● $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {\rm{[}}f(x).g(x){\rm{]}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x).\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g(x) = A.B$
● $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {\rm{[}}\frac{{f(x)}}{{g(x)}}{\rm{]}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x)}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g(x)}} = \frac{A}{B},(B \ne 0)$
● $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt[n]{{f(x)}}. = \sqrt[n]{{\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x)}} = \sqrt[n]{A},(\matrix{ {\sqrt[n]{A}}&{xác}&{định)} }$
● $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {\rm{[}}f{(x)^{g(x)}}{\rm{]}} = {A^B},(B > 0)$