Ứng dụng vi phân tính gần đúng

1 Góc học tập ➢ 2 Giải tích I (HUST)

Ứng dụng vi phân tính gần đúng ✪Công thức:(Cái này là khai triển Taylor đến cấp 1). $$\matrix{ {f(x;y;z;...) \approx f({x_0};{y_0};{z_0};...)}& + &{(x - {x_0}).f{'_x}({x_0};{y_0};{z_0};...)}\\ {}& + &{(y - {y_0}).f{'_y}({x_0};{y_0};{z_0};...)}\\ {}& + &{(z - {z_0}).f{'_z}({x_0};{y_0};{z_0};...)}\\ {}& + &{...} }$$ ✪Quy tắc:
_Chọn hàm $f(x;y;z;...)$ phù hợp (Chỗ có số xấu thì đặt là biến, bao nhiêu số xấu thì bấy nhiêu biến trong hàm)
_Chọn ${x_0};{y_0};{z_0};...$ là những số đẹp sao cho $f({x_0};{y_0};{z_0};...)$ có giá trị đẹp và $(x - {x_0}),(y - {y_0}),(z - {z_0}),...$ có giá trị đủ nhỏ.
  ●Bước 1 :Chọn hàm $f(x;y;z;...)$
  ●Bước 2 :Tìm $f{'_x},f{'_y},f{'_z},...$
  ●Bước 3 :Chọn ${x_0};{y_0};{z_0};...$ phù hợp
  ●Bước 4 :Áp dụng công thức và tính ra kết quả.

✪Ví dụ 1 :
Sử dụng vi phân toàn phần tính gần đúng giá trị:$$A = {e^{0,01}}$$ (Bài 5-Đề 1-Giải tích I giữa kì BKHN-K59)
  ● Xét hàm: $f(x) = {e^{x}}$
(Có 1 số xấu là 0,01 nên ta chọn hàm có 1 biến x tướng ứng với vị trí của 0,01)
  ●Khi đó ta có:$$f{'_x} = {e^x}$$   ●Tại $x_0=0$ : $$f(0) = 1;f{'_x}(0) = 1$$
  ●Ta có:$$f(x) \approx f({x_0}) + (x - {x_0}).f{'_x}({x_0})$$     Suy ra: $$\matrix{ {f(0,01)}& \approx &{f(0) + (0,01 - 0).f{'_x}(0)}\\ {}& = &{1 + (0,01).1}\\ {}& = &{1,01} }$$     Vậy $A \approx 1,01$

✪Ví dụ 2 :
Sử dụng vi phân toàn phần tính gần đúng:$$A = \sqrt[3]{{2.{{(2,98)}^3} - 3.{{(4,01)}^2} + 2}}$$ (Bài 6-Đề 7-Giải tích I cuối kì BKHN-K59)
  ● Xét hàm: $f(x;y) = \sqrt[3]{{2.{x^3} - 3.{y^2} + 2}}$
(Có 2 số xấu là 2,98 và 4,01 nên ta chọn hàm có 2 biến x,y tướng ứng với vị trí 2 số xấu)
  ●Khi đó ta có:$$\matrix{ f{'_x} = \frac{{2{x^2}}}{{\sqrt[3]{{{{(2.{x^3} - 3.{y^2} + 2)}^2}}}}}\\ f{'_y} = \frac{{ - 2y}}{{\sqrt[3]{{{{(2.{x^3} - 3.{y^2} + 2)}^2}}}}} }$$   ●Tại $x_0=3$, $y_0=4$ : $$f(3;4) = 2;f{'_x}(3;4) = \frac{9}{2};f{'_y}(3;4) = - 2$$
  ●Ta có:$$\matrix{ {f(x;y) \approx f(x_0;y_0)}& + &{(x - {x_0}).f{'_x}({x_0};{y_0})}\\ {}& + &{(y - {y_0}).f{'_y}({x_0};{y_0})} }$$     Suy ra: $$\matrix{ {f(2,98;4,01)}& \approx &{f(3;4)}& + &{(2,98 - 3).f{'_x}(3;4)}\\ {}&{}&{}& + &{(4,01 - 4).f{'_y}(3;4)}\\ {}& = &2& - &{(0,02).\frac{9}{2} - (0,01).2}\\ {}& = &{}&{1,89}&{} }$$     Vậy $A \approx 1,89$

✪Ví dụ 3 :
Sử dụng vi phân tính gần đúng:$A = \sqrt 2 $
  (Đề không có số xấu nào thì ta phải tự tạo số xấu)
  ● Ta có $\sqrt 2 = 2\sqrt {\frac{1}{2}} = 2\sqrt {1-0,5} $
  ● Xét hàm: $f(x) = 2\sqrt {1-x}$
(Có 1 số xấu là 0,5 nên ta chọn hàm có 1 biến x tướng ứng với vị trí số xấu)
  ●Khi đó ta có:$$f{'_x} = \frac{{ - 1}}{{\sqrt {1 - x} }}$$   ●Tại $x_0=0$ : $$f(0) = 2;f{'_x}(0) = - 1$$
  ●Ta có:$$f(x) \approx f({x_0}) + (x - {x_0}).f{'_x}({x_0})$$     Suy ra: $$\matrix{ {f(0,5)}& \approx &{f(0) + (0,5 - 0).f{'_x}(0)}\\ {}& = &{2 + (0,5).(-1)}\\ {}& = &{1,5} }$$     Vậy $A \approx 1,5$

✪Ví dụ 4 :
Sử dụng vi phân tính gần đúng:$A = \sin 29 $
  ● Đổi độ về radian: $A = \sin (\frac{{29\pi }}{{180}}) $
  ● Xét hàm: $f(x) = \sin (x)$
(Có 1 số xấu là $\frac{{29\pi }}{{180}}$ nên ta chọn hàm có 1 biến x tướng ứng với vị trí số xấu)
  ●Khi đó ta có:$$f{'_x} = \cos (x)$$   ●Tại $x_0=\frac{{30\pi }}{{180}}$ : $$f(\frac{{30\pi }}{{180}}) = \frac{1}{2};f{'_x}(\frac{{30\pi }}{{180}}) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$$
  ●Ta có:$$f(x) \approx f({x_0}) + (x - {x_0}).f{'_x}({x_0})$$     Suy ra: $$\matrix{ {f(\frac{{29 \pi }}{{180}})}& \approx &{f(\frac{{30\pi }}{{180}}) + (\frac{{29\pi }}{{180}}-\frac{{30 \pi }}{{180}}).f{'_x}(\frac{{30\pi }}{{180}})}\\ {}& = &{\frac{1}{2} - \frac{{\pi }}{{180}}.(\frac{{\sqrt 3 }}{2})}\\ {}& = &{\frac{1}{2}-\frac{{\sqrt 3 }\pi}{360}} {}& \approx &{0,48} }$$     Vậy $A \approx 0,48$