Hàm ngược

1 Góc học tập ➢ 2 Giải tích I (HUST)

Hàm ngược ✪ Định nghĩa :
Hàm $f(x)$ khả nghịch khi và chỉ khi phương trình $f(x)=y$ luôn có nghiệm duy nhất (Với mọi $y$ thuộc tập giá trị)
(Nói cách khác $f(x)$ khả nghịch khi là 1 song ánh)
_Nếu $g(x)=f^{-1}(x)$ là làm hàm ngược của $f(x)$, ta có:    $$f(a) = b \Leftrightarrow g(b) = a$$ _Và nếu hàm $f(x)$ và $g(x)$ khả vi, ta có:    $$f'(a).g'(b) = 1$$ ✪ Các bước làm bài:
  ●Nếu đề yêu cầu chứng minh hay xét tính khả nghịch của $f(x)$ thì khảo sát hàm $y=f(x)$.
  Thỏa mãn định nghĩa thì $f(x)$ khả nghịch.
  ●Nếu đề yêu cầu tìm hàm nghịch của $f(x)$ thì ta biến đổi hàm $y=f(x)$ về dạng $x=g(y)$. Khi đó $y=g(x)$ là hàm cần tìm.

✪Ví dụ 1 :
Chứng minh rằng hàm số : $f(x)=ln(x^2+x)+2x+2$ có hàm ngược $g(x)=f^{-1}(x)$.
Tính $g'(2)$.
(Bài 8-Đề 5-Giải tích I cuối kì BKHN-K59)
  ● Xét hàm $y=f(x)$   Ta có: $$y' = \frac{{2x}}{{{x^2} + 1}} + 2 = \frac{{{{(x + 1)}^2}}}{{{x^2} + 1}} + 1 > 0,(\forall x \in R)$$   $ \Rightarrow f(x)$ đồng biến trên $R$ Mặt khác : $$\matrix{ \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } (\ln ({x^2} + 1) + 2x + 2) = - \infty \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (\ln ({x^2} + 1) + 2x + 2) = + \infty }$$   Suy ra phương trình $f(x)=y$ luôn có nghiệm duy nhất (Với $\forall y \in R$)   Vậy $f(X)$ có hàm ngược $g(x)=f^-1(x)$
  ●Tính $g'(2)$:
  (Để tính $g'(2)$ ta dùng công thức $f'(a).g'(b) = 1$. Ở đây biết được b=2 rồi ta cần biết a. Và a chính là nghiệm của phương trình $f(x)=b$ hay $f(x)=2$)
  _Xét phương trình $$\matrix{ {}&{f(x)}& = &2\\ { \Leftrightarrow }&{\ln ({x^2} + 1) + 2x + 2}& = &2\\ { \Leftrightarrow }&x& = &0 }$$
  Suy ra $f(0)=2$
  Khi đó : $f'(0)=y'(0)=2$
  Vậy $$g'(2) = \frac{1}{{f'(0)}} = \frac{1}{2}$$