Một số phương pháp tính giới hạn (lim)

1 Góc học tập ➢ 2 Giải tích I (HUST)

Một số phương pháp tính giới hạn (lim) ✪ Quy tắc L’Hospitale:
Giả sử trong lân cận của điểm $x = a$ các hàm $f(x)$ và $g(x)$ cùng có đạo hàm, đồng thời chúng cùng tiến về $0$ hoặc tiến ra $\infty $ khi $x \to a$. Ta có: $$\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f(x)}}{{g(x)}}\matrix{ {}&{\mathop = \limits^L }&{} }\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f'(x)}}{{g'(x)}}$$
●Định nghĩa:
Hàm $\alpha (x)$ được gọi là lượng vô cùng bé (infinitesimal – VCB) khi $x\to {{x}_{0}}$ nếu:
$\mathop{\lim }\limits_{x\to {{x}_{o}}}\,\alpha (x)=0$ Ta cũng có khái niệm VCB cho quá trình $x\to\infty $ thay vì $x\to {{x}_{0}}$
Ví dụ: $x^m$ , $sinx$ , ${\tan}x$ , $ln(1+x)$ , $1 - \cos x$ là các VCB khi $x\to 0$
●Tính chất:
_ Nếu ${\alpha}(x)$ là VCB, $C$ là hằng số thì $C.{\alpha}(x)$ là VCB.
_ Nếu ${{\alpha}_{1}}(x)$, ${{\alpha}_{2}}(x)$, ${{\alpha}_{3}}(x)$, ..., ${{\alpha }_{n}}(x)$ là một số hữu hạn các VCB thì tổng ${{\alpha }_{1}}(x)+ {{\alpha }_{2}}(x)+ … + {{\alpha }_{n}}(x)$ cũng là VCB.
_ Nếu $\alpha (x)$ là VCB và $f(x)$ là hàm bị chặn thì tích ${\alpha}(x).f(x)$ cũng là VCB.
●So sánh 2 VCB:
Cho $f, g$ là hai lượng VCB trong 1 quá trình. Giả sử
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {{x}_{o}}} \frac{f(x)}{g(x)}= k$ _Nếu $k = 0$ thì $f$ là VCB bậc lớn hơn $g$. Ký hiệu: $f = {\theta}(g)$ (hoặc $f = 0(g)$ )
_Nếu $k = {\pm}{\infty}$ thì $g$ là VCB bậc lớn hơn $f$. Ký hiệu $g = {\theta}(f)$
_Nếu $k \ne 0$, $k \ne \pm \infty$ thì $f$, $g$ là hai VCB cùng bậc. Đặc biệt, nếu $k = 1$ thì ta nói $f$, $g$ là VCB tương đương. Ký hiệu: $f \sim g$
_Nếu không tồn tại giới hạn thì ta nói $f$ và $g$ không so sánh được với nhau .
_Ví dụ:
$1-cosx , x^2$ là hai VCB ngang cấp khi $x \to 0$
$1 – cosx$ là VCB cấp cao hơn $x$ khi $x \to 0$
●Các VCB bé tương đương cần chú ý:
Nếu $x \to 0$ thì:
${\sin}x \sim x$ , ${\tan}x \sim x$
$\left[ {{{\left( {1 + x} \right)}^a} - 1} \right] \sim ax$
●Ứng dụng vào tính giới hạn:
_Nếu ${\alpha}(x) = \theta({\beta}(x))$ thì ${\alpha}(x)+ {\beta}(x) \sim {\beta}(x)$
_Nếu $\mathop{\lim }\limits_{x\to {{x}_{o}}}\, \frac{f}{g}=k$
Đồng thời $f \sim f_1; g \sim g_1$ thì $\mathop{\lim }\limits_{x\to {{x}_{o}}}\, \frac{{{f}_{1}}}{{{g}_{1}}}= k$
●Dạng $\frac{0}{0}$ và $\frac{\infty }{\infty }$:
_Các cách làm:
+Đặt nhân tử chung để rút gọn mẫu và tử sao cho không còn ở dạng vô định nữa.
+Sử dụng quy tắc L’Hospitale đạo hàm cả tử và mẫu cho đến khi mất dạng vô định.
+Sử dụng vô cùng bé tương đương nếu có thể.
_Các cách làm:
+Cố gắng rút gọn, tối giản để mất dạng vô định.
+Đưa về dạng $\frac{0}{0}$ bằng cách chuyển $\infty$ xuống mẫu như sau:
$0.\infty = \frac{0}{{(\frac{1}{\infty })}} = \frac{0}{0}$ +Đưa về dạng $\frac{\infty}{\infty}$ bằng cách chuyển $0$ xuống mẫu như sau:
$0.\infty = \frac{\infty}{{(\frac{1}{0})}} = \frac{\infty}{\infty}$ +Kết hợp sử dụng vô cùng bé tương đương nếu có thể.
_Các cách làm:
+Liên hợp để đưa về dạng quen thuộc và giải
_Các cách làm:
+Ta sử dụng công thức sau :
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f{(x)^{g(x)}} = {e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g(x).\ln (f(x))}}$ +Riêng với dạng ${1 ^\infty }$ ta được phép dùng thêm công thức:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f{(x)^{g(x)}} = {e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g(x).(f(x) - 1)}}$ +Sau khi dùng công thức có thể sẽ xuất hiện dạng $\frac{0}{0}$,$\frac{\infty }{\infty }$ hoặc $0.\infty $ . Lúc đó thì lại quay về phá giải các dạng đó :3 .