Khai triển Taylor-Maclaurin

1 Góc học tập ➢ 2 Giải tích I (HUST)

Khai triển Taylor-Maclaurin ✪ Định lý:
●Khai triển Taylor cấp n:
_Nếu hàm số $y = f(x)$ có các đạo hàm $f'(x) , f''(x) , ... , f^{(n)}(x)$ liên tục tại điểm $x_0$ và có đạo hàm $f^{(n+1)}(x)$ trong lân cận của $x_0$ thì tại lân cận đó ta có công thức khai triển Taylor với phần dư Lagrange: $$\matrix{ \matrix{ {f(x) = f({x_o}) + \frac{{f'({x_o})}}{{1!}}(x - {x_o}) + \frac{{f''({x_o})}}{{2!}}{{(x - {x_o})}^2} + ...}\\ { + \frac{{{f^{(n)}}({x_o})}}{{n!}}{{(x - {x_o})}^n} + \frac{{{f^{(n + 1)}}(c)}}{{n!}}{{(x - {x_o})}^{n + 1}}} }\\ \Leftrightarrow f(x) = {\rm{[}}\sum\limits_{k = 0}^n {\frac{{{f^{(k)}}({x_o})}}{{k!}}{{(x - {x_o})}^k}} {\rm{] + }}{{\rm{R}}_n} }$$
Với $R_n={ \frac{{{f}^{(n+1)}}(c)}{n!}}{{(x-{{x}_{o}})}^{n+1}}$ là số hạng dư Lagrange
($c$ ở giữa $x_0$ và $x$, $c = x_0+ a(x-x_0)$, $0 < a <1$ )
_Nếu hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm cấp $n$ tại $x_0$. Khi đó ta có công thức khai triển Taylor với phần dư Peano: $${\matrix{ {f(x) = f({x_o}) + \frac{{f'({x_o})}}{{1!}}(x - {x_o}) + \frac{{f''({x_o})}}{{2!}}{{(x - {x_o})}^2} + ...}\\ { + \frac{{{f^{(n)}}({x_o})}}{{n!}}{{(x - {x_o})}^n} + o({{(x - {x_o})}^n})} }}$$
Với $o({{(x - {x_o})}^n})$ là phần dư Peano
●Khai triển Maclaurin:
Tại lân cận $x_0=0$ thì khai triển Taylor trở thành khai triển Maclaurin: $$\matrix{ f(x) = f(0) + { \frac{f'(0)}{1!}}x + { \frac{f''(0)}{2!}}{{x}^{2}} + ... + { \frac{{{f}^{(n)}}(0)}{n!}}{{x}^{n}} + { \frac{{{f}^{(n+1)}}(\theta x)}{n!}}{{x}^{n+1}}, \\ \qquad (0<{\theta}<1) \\ } $$
✪ Một số công thức cần biết:
●Khai triển Maclaurin một số hàm cơ bản: $$\matrix{ {e^x} = 1 + x + \frac{{{x^2}}}{{2!}} + ... + \frac{{{x^n}}}{{n!}} + o({x^n})\\ {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in }}x = x - \frac{{{x^3}}}{{3!}} + ... + \frac{{{{( - 1)}^k}.{x^{2k + 1}}}}{{(2k + 1)!}} + o({x^{2k + 1}})\\ {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inh }}x = x + \frac{{{x^3}}}{{3!}} + ... + \frac{{{x^{2k + 1}}}}{{(2k + 1)!}} + o({x^{2k + 1}})\\ \arctan x = x - \frac{{{x^3}}}{3} + ... + \frac{{{{( - 1)}^k}.{x^{2k + 1}}}}{{(2k + 1)}} + o({x^{2k + 1}})\\ {\rm{cos }}x = 1 - \frac{{{x^2}}}{{2!}} + ... + \frac{{{{( - 1)}^k}.{x^{2k}}}}{{(2k)!}} + o({x^{2k}})\\ {\rm{cosh }}x = 1 + \frac{{{x^2}}}{{2!}} + ... + \frac{{{x^{2k}}}}{{(2k)!}} + o({x^{2k}})\\ {(1 + x)^\alpha } = 1 + \frac{\alpha }{{1!}}x + \frac{{\alpha (\alpha - 1)}}{{2!}}{x^2} + ... + \frac{{\alpha (\alpha - 1)...(\alpha - n + 1)}}{{n!}}{x^n} + o({x^n})\\ \ln (1 + x) = x - \frac{{{x^2}}}{2} + ... + \frac{{{{( - 1)}^{n - 1}}{x^n}}}{n} + o({x^n}) }$$