Heza2
1 Góc học tập ➢
2 Giải tích I (HUST)
Nếu $h(x),g(x)$ là các hàm khả vi n lần thì $${{\rm{[}}h(x).g(x){\rm{]}}^{(n)}} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} .{h^{(k)}}(x).{g^{(n - k)}}(x)$$ ✪Các bước làm bài :
●Bước 1 :Xác định 2 hàm tích $h(x),g(x)$.
●Bước 2 :Lần lượt xác định đạo hàm cấp n của $h(x),g(x)$
●Bước 3 :Thế vào công thức để tính toán và kết luận
✪Ví dụ 1 :
Tính đạo hàm cấp 100 của hàm số sau :$$y = (x + 1){\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}$$ (Bài 4-Đề 1-Giải tích I giữa kì BKHN-K58)
● Đặt :
$h(x)=x+1$
$g(x)=sinx$
Suy ra: $y=h(x).g(x)$
●Ta có:
_ ${\rm{h(x) = x + 1}}$
$ \Rightarrow {\rm{h'(x) = 1}}$
$ \Rightarrow {{\rm{h}}^{(n)}}(x) = 0$ Với $\forall n \ge 2$
_ ${\rm{g(x) = sinx}}$
$ \Rightarrow g'(x) = c{\rm{osx = sin(x + }}\frac{\pi }{2})$
$ \Rightarrow g''(x) = - \sin x{\rm{ = sin(x + 2}}{\rm{.}}\frac{\pi }{2})$
$ \Rightarrow {g^{(n)}}(x) = {\rm{sin(x + n}}{\rm{.}}\frac{\pi }{2})$
●Với $y=h(x).g(x)$
Khi đó: $$\matrix{ {{y^{(100)}}}& = &{\sum\limits_{k = 0}^{100} {C_{100}^k.{h^{(k)}}(x).{g^{(100 - k)}}(x)} }\\ {}& = &{C_{100}^0.h(x).{g^{(100)}}(x) + C_{100}^1.h'(x).{g^{(99)}}(x)}\\ {}& = &{(x + 1)\sin (x + 100.\frac{\pi }{2}) + 100.\sin (x + 99.\frac{\pi }{2})}\\ {}& = &{(x + 1)\sin x - 100\cos x} }$$ ●Vậy ${y^{(100)}} = (x + 1)\sin x - 100\cos x$
✪Ví dụ 2 :
Tính đạo hàm cấp n của hàm số sau :$$y = x.\ln x$$
● Đặt :
$h(x)=x$
$g(x)=lnx$
Suy ra: $y=h(x).g(x)$
●Ta có:
_ ${\rm{h(x) = x }}$
$ \Rightarrow {\rm{h'(x) = 1}}$
$ \Rightarrow {{\rm{h}}^{(n)}}(x) = 0$ Với $\forall n \ge 2$
_ ${\rm{g(x) = lnx}}$
$ \Rightarrow g'(x) = \frac{1}{x} = {x^{ - 1}}$
$ \Rightarrow g''(x) = - x^{ - 2}$
$ \Rightarrow g'''(x) = 2 x^{ - 3}$
$ \Rightarrow {g^{(n)}}(x) = {( - 1)^{n - 1}}.(n - 1)!.{x^{ - n}} = \frac{{{{( - 1)}^{n - 1}}.(n - 1)!}}{{{x^n}}}$
●Với $y=h(x).g(x)$
_Với $n=1$: $${y'} = \ln x + 1$$
_Với $n \ge 2$: $$\matrix{ {{y^{(n)}}}& = &{\sum\limits_{k = 0}^{n} {C_{n}^k.{h^{(k)}}(x).{g^{(n - k)}}(x)} }\\ {}& = &{C_{n}^0.h(x).{g^{(n)}}(x) + C_{n}^1.h'(x).{g^{(n-1)}}(x)}\\ {}& = &{x.\frac{{{{( - 1)}^{n - 1}}.(n - 1)!}}{{{x^n}}} + n.\frac{{{{( - 1)}^{n - 2}}.(n - 2)!}}{{{x^{n - 1}}}}}\\ {}& = &{\frac{{{{( - 1)}^{n - 2}}.(n - 2)!}}{{{x^{n - 1}}}}} }$$
✪Ví dụ 3 :
Tính đạo hàm cấp n của hàm số sau :$$y=\sin {\rm{(x)}}.{e^x}$$
● Đặt :
$h(x)=sinx$
$g(x)={e^x}$
Suy ra: $y=h(x).g(x)$
●Ta có:
●Với $y=h(x).g(x)$
_ ${\rm{h(x) = sinx}}$
$ \Rightarrow h'(x) = c{\rm{osx = sin(x + }}\frac{\pi }{2})$
$ \Rightarrow h''(x) = - \sin x{\rm{ = sin(x + 2}}{\rm{.}}\frac{\pi }{2})$
$ \Rightarrow {h^{(n)}}(x) = {\rm{sin(x + n}}{\rm{.}}\frac{\pi }{2})$
_ $\rm{g(x) = {e^x}}$
$ \Rightarrow {{\rm{g}}^{(n)}}(x) = {e^x}$ Với $\forall n$
●Vậy ${y^{(n)}} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k\sin (x + k.\frac{\pi }{2}).{e^x}}$
Có thể bạn quan tâm