Tìm tiện cận đồ thị hàm số

1 Góc học tập ➢ 2 Giải tích I (HUST)

Tìm tiện cận đồ thị hàm số ✪ Phương pháp:
_Tính giới hạn của x, y tại các điểm không tầm thường ($ \pm \infty $ và các giá trị ở điều kiện xác định của hàm số)
+Với hàm $y=f(x)$ ta tính giới hạn của y theo x
+Với hàm tham số $\left\{ \matrix{ x = f(t)\\ y = g(t) } \right.$ ta tính giới hạn của cả x và y theo t
_Lưu ý: Nếu giới hạn phải và trái tại điểm đang xét khác nhau thì phải tính riêng ra từng giới hạn một, nếu bằng nhau thì tính chung một giới hạn.
✪ Các loại tiện cận :
●($m,n$ là các giá trị xác định)

$x$	$\infty$	$\infty$	$n$	$n$
$y$	$\infty$	$m$	$\infty$	$m$
t/c	Có thể tồn tại tiện cận xiên: $b=lim(y-ax)$	Tiện cận ngang: $y=m$	Tiện cận đứng: $x=n$	Không xác định

  ●Bước 1 :Nêu tập xác định (TXĐ).
  ●Bước 2 :Tính giới hạn tại các điểm không tầm thường
  ●Bước 3 :Kết luận

✪Ví dụ 1 :
Tìm tiện cận đường cong : $$y = x{e^{\frac{1}{x}}}$$ (Bài 5-Đề 3-Giải tích I giữa kì BKHN-K58)
  ● TXĐ: $D = R\backslash \{ 0\} $
(Ta tính giới hạn tại $ \infty $ và 0)
  ●Ta có:
  _$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} x{e^{\frac{1}{x}}} = 0$(Không xác định)
  _$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} x{e^{\frac{1}{x}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{{e^{\frac{1}{x}}}}}{{\frac{1}{x}}}\mathop = \limits^{(L)} \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\frac{{ - {e^{\frac{1}{x}}}}}{{{x^2}}}}}{{\frac{-1}{x^2}}} = + \infty $
   Suy ra tiện cận đứng bên phải: $x=0$
  _$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } x{e^{\frac{1}{x}}} = \infty$
   $ \Rightarrow $ Có thể tồn tại tiệm cận xiên:$y=ax+b$ Với : $$\matrix{ a = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{y}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {e^{\frac{1}{x}}} = 1\\ b = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } (y - ax) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } (x{e^{\frac{1}{x}}} - x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{e^{\frac{1}{x}}} - 1}}{{\frac{1}{x}}} = 1 }$$
    Suy ra tiệm cận xiên: $y=x+1$

✪Ví dụ 2 :
Tìm tiện cận của hàm số sau : $$y = {x^2}\sin \frac{2}{x}$$ (Bài 8-Đề 3-Giải tích I giữa kì BKHN-K59)
  ● TXĐ: $D = R\backslash \{ 0\} $
(Ta tính giới hạn tại $ \infty $ và 0)
  ●Ta có:
  _$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {x^2}\sin \frac{2}{x} = 0$(Không xác định)
  _$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {x^2}\sin \frac{2}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\sin \frac{2}{x}}}{{\frac{1}{{{x^2}}}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\frac{2}{x}}}{{\frac{1}{{{x^2}}}}} = \infty $
   $ \Rightarrow $ Có thể tồn tại tiệm cận xiên:$y=ax+b$ Với : $$\matrix{ a = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{y}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } x\sin \frac{2}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\sin \frac{2}{x}}}{{\frac{1}{x}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\frac{2}{x}}}{{\frac{1}{x}}} = 2\\ b = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } (y - {\rm{ax)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } ({x^2}\sin \frac{2}{x} - 2x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{x\sin \frac{2}{x} - 2}}{{\frac{1}{x}}} = 0 }$$
    Suy ra tiệm cận xiên: $y=2x$

✪Ví dụ 3 :
Tìm tiện cận của hàm số sau : $$\left\{ \matrix{ x = \frac{{2016t}}{{1 + {t^3}}}\\ y = \frac{{2016{t^2}}}{{1 + {t^3}}} } \right.$$
  ● ĐKXĐ: $t \ne \{ -1\} $
(Ta tính giới hạn với $t$ tại $ \infty $ và -1)
  ●Ta có:
  _Với $t \to \infty$
  $\matrix{ \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } x = \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \frac{{2016t}}{{1 + {t^3}}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \frac{{2016t}}{{{t^3}}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \frac{{2016}}{{{t^2}}} = 0\\ \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \frac{{2016{t^2}}}{{1 + {t^3}}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \frac{{2016{t^2}}}{{{t^3}}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \frac{{2016}}{t} = 0 }$
(Không xác định)
  _Với $t \to -1$
  $\matrix{ \mathop {\lim }\limits_{t \to - 1} x = \mathop {\lim }\limits_{t \to - 1} \frac{{2016t}}{{1 + {t^3}}} = \infty \\ \mathop {\lim }\limits_{t \to - 1} y = \mathop {\lim }\limits_{t \to - 1} \frac{{2016{t^2}}}{{1 + {t^3}}} = \infty }$
   $ \Rightarrow $ Có thể tồn tại tiệm cận xiên:$y=ax+b$ Với : $$\matrix{ a = \mathop {\lim }\limits_{t \to - 1} \frac{y}{x} = \mathop {\lim }\limits_{t \to - 1} \frac{{2016{t^2}}}{{2016t}} = - 1\\ b = \mathop {\lim }\limits_{t \to - 1} (y - {\rm{ax) = }}\mathop {\lim }\limits_{t \to - 1} (y + {\rm{x)}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to - 1} \frac{{2016{t^2} + 2016t}}{{1 + {t^3}}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to - 1} \frac{{4032t + 2016}}{{3{t^2}}} = - 672 }$$
    Suy ra tiệm cận xiên: $y=-x-672$